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An Introduction to Manifolds

Les collecteurs, les analogues de dimension supérieure des courbes et des surfaces lisses, sont des objets fondamentaux dans les mathématiques modernes. En combinant des aspects de l’algèbre, de la topologie et de l’analyse, des variantes ont également été appliquées à la mécanique classique, à la relativité générale et à la théorie des champs quantiques. Dans cette introduction simplifiée sur le sujet, la théorie des variétés est présentée dans le but d’aider le lecteur à maîtriser rapidement les sujets essentiels.

À la fin du livre, le lecteur devrait pouvoir calculer, au moins pour des espaces simples, l’un des invariants topologiques les plus basiques d’un collecteur, sa cohomologie de Rham. Dans le même temps, le lecteur acquiert les connaissances et les compétences nécessaires à une étude approfondie de la géométrie et de la topologie. La deuxième édition contient cinquante pages de nouveaux matériaux.

De nombreux passages ont été réécrits, des preuves simplifiées et de nouveaux exemples et exercices ajoutés. Ce travail peut être utilisé comme un manuel pour un cours de premier cycle diplômé ou avancé d’un semestre, ainsi que par des étudiants qui étudient eux-mêmes. La topologie requise pour les points est incluse dans une annexe de vingt-cinq pages; D’autres appendices examinent les faits tirés de l’analyse réelle et de l’algèbre linéaire.

Des conseils et des solutions sont fournis à plusieurs des exercices et des problèmes. Ne nécessitant que des prérequis minimaux de premier cycle, «Une introduction aux collecteurs» est également une excellente base pour la publication de l’auteur avec Raoul Bott, «Formes différentielles en topologie algébrique».

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